Linsoptik

Ljusets brytning

Ljus kan sägas bestå av en transversell vågrörelse som utbreder sig i en rak linje åt alla håll, så länge det befinner sig i ett och samma medium. Vi känner också till att ljusets hastighet är den högsta möjliga hastigheten. Då avser man ljusets hastighet i vakuum, eftersom ljuset har olika hastigheter i olika media. Ljusets hastighet i luft kan med god noggranhet sägas vara samma som i vakuum. Kvoten mellan ljuset hastighet i vakuum, c, och hastigheten i mediet, v, kallas brytningsindex, n. Alltså:

När en ljusstråle passerar från ett medium till ett annat får det alltså en annan hastighet. Detta leder till att ljuset avböjs från sin räta bana in i en annan rät bana, det bryts från vinkeln a1 relativt infallsnormalen till a2. Härvid gäller brytningslagen:

Ger man en glaskropp en passande form kommer ljuset att brytas så att strålknippet som infaller mot det samlas i en viss punkt bakom kroppen. Vi har fått en lins.

Linsens avbildande egenskaper bestäms i första hand av om linsen är tjockast på mitten eller i kanterna. Om linsen är tjockast på mitten kallas den för "konvex lins", "positiv lins" eller "samlingslins". Är linsen däremot tunnare vid mitten än utåt, kallas den "konkav lins", "negativ lins" eller "spridningslins". Vi har alltså att göra med dels konvexa ytor och konkava ytor, men även med plana ytor. Kombinerar man nu dessa får man de olika typer av linser som finns, nämligen:

  1. bikonvex lins
  2. plankonvex lins
  3. konkavkonvex lins
  4. bikonkav lins
  5. plankonkav lins
  6. konvexkonkav lins

Konvexa linser har som sagt förmågan att samla ljuset till en punkt. Om det nu faller in parallella strålar mot linsen, kallas den punkt de bryts i för brännpunkt och dess avstånd till linsen för brännvidd. Ju närmare ljuskällan kommer linsen, desto mer kommer ljusstrålarna att vara spridda då de bryts genom linsen. Avbildningspunkten flyttar sig då bakåt. Till slut, när ljuskällan är placerad i brännpunkten på framsidan av linsen utgår strålarna parallella på baksidan. Vi har ju två brännpunkter, en på vardera sidan linsen.

Vi kan nu härleda några enkla formler för linsen. Här betecknas då föremålets storlek med A och bildens storlek med B. Föremålets avstånd från linsen är då a, bildens b och brännvidden är f. Vi har då

Det vill säga: föremålets storlek är lika många gånger större än bildens som föremålets avstånd är större än bildens.

Vi kan också ange ett samband mellan föremålsavståndet a, bildavståndet b och bränvidden f. Detta samband (formeln för den enkla linsen) kan skrivas

Man kan också teckna den Newtonska linsformlen. Här tar man fasta på föremålets och bildens avstånd från närmaste brännpunkt, x resp. y. Newtons formel lyder:

Sammansatta linser

Vi har hittills tänkt oss att linsen ljuset passerar igenom är så tunn att man helt kan bortse från dess tjocklek. Om vi går över till tjocka linser eller linssystem kan vi inte längre göra så. Där vi i den tunna linsens fall kunde ersätta linsen med ett lodrätt streck, huvudplanet, och utgå ifrån det när vi använde avståndet från en brännpunkt till linsen, har vi i fråga om de tjocka linserna eller linssystemen två huvudplan. Det korrekta formuleringen är emellertid att ifråga om den tunna linsen så sammanfaller de båda huvudplanen. De formler vi ställt upp gäller fortfarande, om vi bara kommer ihåg att använda det närmaste huvudplanet när vi anger avstånden. Så är till exempel brännvidden avståndet från en brännpunkt till närmaste huvudplans skärning med centrumaxeln. Detta säger förstås inget om hur ljusstrålarna färdas inuti linssytemet.

Om två tunna linser med brännvidderna f1 och f2 kombineras till ett dubbelobjektiv med tjockleken d, får vi det nya objektivets brännvidd f som:

Bländaren

Man inser snabbt, att ju större diameter ett objektiv har, desto mer ljus släpper det in till filmen. Det tycks vara bättre ju mer ljus det släpper in, eftersom vi då kan minska exponeringstiden. Men hur ska man kunna måttsätta ett objektivs ljusinsläppande förmåga mer precist?

Om vi tänker oss parallella strålar som faller in mot ett objektiv med konstant brännvidd samtidigt som vi varierar linsdiametern, så är det tydligt att det infallande ljusflödet är proportionellt mot objektivets yta och alltså proportionellt mot kvadraten på objektivets diameter.

Om vi nu behåller objektivdiametern d, men varierar brännviddens storlek f, så ändras inte det totalt infallande ljusflödet. Däremot innebär en större brännvidd en större yta att sprida ljuset över; bildens yta ändras ju proportionellt mot kvadraten på brännvidden.

Vi har alltså sett att bildens ljustäthet är:

  1. proportionell mot kvadraten på linsdiametern d
  2. omvänt proportionell mot kvadraten på brännvidden f

Det är alltså förhållandet mellan d och f som avgör objektivets ljusstyrka. Kvoten d / f kallas den relativa öppningen. Siffermässigt skrivs den alltid såsom ett bråk där täljaren är ett och nämnaren (oftast) större än ett. Alltså:

Detta skrives vanligtvis d = f / n. Till exempel f/2.8 eller f/1.4. Bildens ljustäthet är proportionell mot kvadraten på den relativa öppningen, och alltså omvänt proportionell mot talet n. Ett f/4-objektiv är alltså fyra gånger ljusstarkare än ett f/8.

Skärpedjupet

Ett objektiv kan egentligen bara skarpt återge de föremål som ligger i ett och samma plan. Närmare eller avlägsnare föremålspunkter avbildas då inte som punkter, utan små ytor; oskärpecirklar. Dessa minskar emellertid vid avbländning på det sätt som figuren visar, och eftersom vi inte kan iaktta hur små oskärpecirklar som helst kan man genom att blända av objektivet ernå en viss zon med acceptabel skärpa. Denna zons storlek kallas skärpedjup.

Vilken oskärpa kan då tolereras? Det måste bero på betraktningsavståndet; en oskärpa som upptäcks på kanske 30 cm avstånd kan vara helt omärklig vid en meters avstånd. Den oskärpa vi kan iaktta är alltså direkt proportionell mot betraktningsavståndet. Kallar vi oskärpecirkelns diameter d och betraktningsavståndet b har vi:

Frågan är då, hur stort detta N ska vara. För vanliga fotografier kan man säga, att N = 1000 är ett normalt värde. För bilder med speciella krav kan detta värde ökas.

Vilket betraktningsavstånd ska då användas? Som en generell regel kan alltid sägas, att bilden ska betraktas på ett avstånd som är lika med bildvidden vid fotograferingen, vilket ofta är nästan lika med objektivets brännvidd. Betraktar man bilden på detta avstånd får man en perspektiviskt riktig bild, annars inte. Vi kan alltså ersätta betraktningsavståndet b med brännvidden f och då få:

Slutligen några formler för praktisk användning. Om man vill avbilda allt mellan avståndet F (främre avståndet) och B (bakre) skarpt utan att behöva blända ned mer än nödvändigt, vilket avstånd I ska då användas, och vilken bländare krävs?

Vi har då dessa formler:

Den absoluta öppningen d blir

Man bör härvid observera att skärpedjupet beror av den absoluta öppningen och inte den relativa, n. Vill man räkna ut den går det:

Med hjälp av dessa formler kan man på ett enkelt sätt räkna ut skärpedjupstabeller och liknande.

Linsfelen

Den enkla linsen avbildar inte motivet exakt som det borde; den är behäftat med en hel rad linsfel. Genom att kombinera olika linser har man i möjligaste mån kunnat avlägsna dessa, eller rättare sagt göra de så små att de blir betydelselösa. Det är dock en så oerhört komplicerat process att framställa ett väl korrigerat objektiv, att detta blir mycket dyrt och ömtåligt. Vi kan skilja på tre typer av linsfel:

  1. Felaktigheter som märks redan vid bildens mitt,
  2. Felaktigheter som uppträder först utåt bildens kanter,
  3. Felaktigheter som inte är bundna till något speciellt ställe på bilden.

Felaktigheter som märks redan vid bildens mitt:

Den kromatiska abberationen. Som bekant är vitt ljus en blandning av alla synliga färger. Då objektivets glaslinser även agerar som prismor, bryts olikfärgat ljus olika mycket. Man erhåller därför inte samma skärpeplan för de olika färgerna. Nu går emellertid färgspridningen åt motsatt håll vid positiva och negativa linser, och genom att kombinera en positiv och en negativ lins framställda av olika glassorter, kan man få en gemensam brännvidd för två färger. En sådan linskombination brukar kallas en akromat. Man beräknar linserna så, att en konvex yta hos den ena har samma böjningsradie som en konkav hos den andra; då kan man kitta samman de båda linserna.

Man kan även beräkna ett objektiv för att tre färger ska sammanfalla; ett sådant objektiv kallas en apokromat. Ett sådant blir självfallet dyrare och mer komplicerat än en vanlig akromat.

Den sfäriska abberationen. Detta fel uppträder när strålarna från objektivets yttre delar, randstrålarna, inte träffas i samma bildpunkter som de centrala strålarna. Detta beror på att linsen begränsas av sfäriska ytor. Storleken varierar med linsens form och blir olika beroende på vilken sida som vänds framåt. Då den sfäriska abberationen går åt olika håll vid en positiv och en negativ lins, kan man korrigera för den genom att kombinera två sådana linser av lämplig form på samma sätt som med den kromatiska abberationen.

Felaktigheter som uppträder först utåt bildens kanter:

Astigmatism. Ordet astigmatism betyder punktlöshet och antyder felets karaktär. En punkt utanför huvudaxeln avbildas inte som en punkt utan som en linje. Om sedan filmen flyttas blir denna linje horisontell eller vertikal. Felet beror på att linsens krökningsförhållande inte är lika i alla riktningar. Detta kan förklaras om vi tänker oss att ljuset faller in i två plan. Vi har först ett plan, som går genom ljusknippets axel och objektivets huvudaxel som kallas meridionalplanet. Det andra planet går vinkelrätt genom det första och kallas sagittalplanet. Medan det förra träffar linsytan efter en normal krökningscirkel (storcirkel), träffar det andra planet linsen där den beskriver en starkare krökt cirkel (småcirkel). Sagittalstrålarna träffar därför varandra närmare bakom linsen än meridionalstrålarna. Där sagittalstrålarna träffas är ekvatorialstrålknippet ännu rätt brett, varför man får en linje istället för en punkt i skärpeplanet.

Astigmatismen var det linsfel som var svårast att bemästra. Först efter upptäckten av nya glassorter på 1880-talet kunde man konstruera nya objektiv som var korrigerade för detta fel. Dessa kom att kallas anastigmater.

Man ville härvid inte bara få bort astigmatismen, utan också komma tillrätta med det nära sammanhörande felet, bildfältskrökningen. Villkoret för att ett anastigmatiskt bildfält ska bli plant formulerades redan 1843 av Josef Petzval. Denna berömda ekvation säger att summan av de inverterade värdena av produkterna av brytningsindex och brännvidd för varje enskild lins i ett objektiv ska vara noll.

Koma kallar man det objektivfel som uppkommer då sneda strålknippens bredd ökas genom bländarens förstoring. Ett korrektare namn skulle kanske vara "sfärisk abberation vid sneda strålknippen". Ordet "koma" betyder "hår" och felet har fått det namnet efter på vilket sätt ljusfläckarna ser ut. Det är ett mycket störande fel som yttrar sig i kraftigt tilltagande oskärpa ut mot bildkanterna; det kan dock minskas genom stark avbländning. En så gott som perfekt korrektion kan erhållas genom ett fullständigt symmetriskt objektiv.

Distorsion. Detta fel uppträder som en ändrad avbildningsskala utmed bildens kanter, antingen ökar den från mitten, eller minskar den. Om en kvadrat ska avbildas och avbildningsskalan minskar utmed bildkanterna, har man en tunnformad distorsion. Växer avbildningsskalan utåt, har man en kuddformad distorsion.

Felet hänger samman med bländarens placering. Om bländaren placeras framför objektivet blir distorsionen tunnformad, placeras den bakom blir distorsionen kuddformad. Lösningen blir att placera bländaren mitt inne i objektivet med dess delar symmetriskt belägna.

Normalt ljusavfall. Detta fel, som yttrar sig genom att ljustätheten avtar mot kanterna, är inget fel i egentlig bemärkelse utan uppkommer på grund av tre saker:

  1. de snett infallande ljusknippena får mindre tvärsnitt än axelljusknippet,
  2. att bildpunkten för de snett infallande ljusknippena ligger på längre avstånd från bländaren och
  3. att de sneda knippena träffar bildytan snett och därför sprids över en större yta.
Alla dessa faktorer bidrar till att bildens ljustäthet avtar ut mot kanterna.

Vinjettering. Förutom det naturliga ljusavfallet uppkommer ett annat fel som bidrar till ljusavfallet mot bildkanterna. På grund av att objektivet med sin fattning har en viss längd, kommer ljuset vid en viss infallsvinkel att börja avskärmas, för att vid ökade vinklar avskärmas totalt. Vid nedbländning blir övergångszonen skarpare och det effektiva bilfältet därför större. Problemet märks mest hos vidvinkelobjektiv, som därför är kompakt byggda.

Felaktigheter som inte är bundna till något speciellt ställe:

Spegelfläckar uppkommer på grund av att varje fri glasyta i objektivet reflekterar en del av det infallande ljuset. Inget hindrar sedan att detta ljus reflekterad tillbaka in i kameran igen. Detta dubbelt reflekterande ljus blir visserligen mycket svagt i förhållande till det direkt infallande, men i vissa fall kan det bli mycket störande, till exempel i motljustagningar. Detta problem har dock numera avsevärt minskats. Om man överdrar linsytan med ett tunt skikt av ett ämne, vars brytningsindex ligger mellan luften och glasets, och gör skiktet precis 1/4 våglängd tjockt, släcks det reflekterande ljuset ut genom interferens. Då det synliga ljuset har våglängder mellan 400 och 700 nm, måste skiktet alltså vara ungefär 100 nm (0,0001 mm) tjockt. Denna antireflexbehandling infördes av Zeiss i början på 1940-talet, och alla objektiv i dag har någon form av sådan. Dyrare optik har flerskiktig antireflexbehandling, varigenom den reflexutsläckande förmågan ytterligare ökar.

Ljusförsvagning genom reflexer uppkommer på grund av att en del av ljuset som faller in mot objektivet reflekteras tillbaka och går förlorat. Detta problem är dock mindre hos antireflexbehandlade objektiv.

Objektivtyper

Man kan dela in de olika objektivkonstruktionerna i två huvudgrupper, nämligen:

De enkla objektiven:

Monokeln, eller den enkla positiva linsen. Denna den äldsta och ursprungliga objektiv är behäftat med samtliga linsfel. För att få en acceptabel bildkvalitet måste man blända ner kraftigt, vilket var en av de största problemen de tidiga fotograferna hade. De bästa monoklarna är av menisktyp, dvs konkavkonvexa. De infördes redan 1812 av Wollaston.

Akromaten, som fåtts genom hopkittning av en positiv kronglaslins med en negativ flintglaslins. De användes redan av Daguerre och Giroux i deras daguerrotypkamera 1839.

De sammansatta objektiven:

Dessa kan delas upp i följande grupper:

Icke-akromatiska dubbelobjektiv:

Periskopet konstruerades av A. Steinheil 1865, och består av två identiska kronglasmenisker med de konkava ytorna vända mot varandra. Här är distorsionen praktiskt taget upphävd pga symmetrin, medan de kromatiska och sfäriska felen är kraftiga. För att minska dessa krävs kraftig avbländning.

Genom att använda två mycket tunna halvkulformade linser placerade nära varandra kunde man få ett vidvinkelobjektiv med bildvinkel på ca. 140o. Goerz´ Hypergon är ett exempel på detta.

Akromatiska dubbelobjektiv:

Petzvals porträttobjektiv var det första objektiv som beräknades matematiskt, och när det började tillverkas av Voigtländer 1840 var det med sin ljusstyrka på f/3.2 16 gånger ljusstarkare än de vanliga akromaterna. Det möjliggjorde därigenom porträttfotografier för första gången.

Petzval-objektivet består av två akromater, där den bakre är okittad och har en s.k. luftlins mellan sina två komponenter. Det har god skärpa i mitten , men utanför en bildvinkel på 20-30o ökar oskärpan snabbt.

Aplanaternas konstruktion utgick från periskopet, där de båda enkla linserna ersattes med två akromater. Detta gjorde A. Steinheil året efter han konstruerat periskopet.

Objektivet är pga sin symmetriska konstruktion fritt från distorsion, har obetydlig koma samt är färgkorrigierat genom sin uppbyggnad av två akromater. Man kan även konstruera vidvinkelobjektiv av aplanater på samma sätt som med periskopen.

Anastigmaterna:

Objektivkonstruktörerna stod inför stora svårigheter när de försökte få bukt med det astigmatiska felet . Med de glassorter som fanns i början på 1880-talet kunde man till och med bevisa, att det var omöjligt att bygga ett anastigmatiskt objektiv. Längst i kampen mot astigmatismen med de gamla glassorterna kom A. Steinheil med sin Antiplanet 1881.

Först sedan glasverket Scott und Genossen i Jena lyckades framställa helt nya bor- och bariumhaltiga glassorter kunde man framställa det önskade glasmaterialet. Vad man önskade var, att höja brytningsförmågan utan att öka färgspridningen.

Sedan de nya glassorterna framkommit, konstruerade Paul Rudolph hos firman Carl Zeiss den första anastigmaten 1889; den kallades Protar.

Protaren bestod av en akromat av gamla glassorter och en av nya med bländaren placerad mellan dem.

De kittade symmetriska dubbelanastigmaterna. Denna grupp började med Goerz´ Dagor-objektiv. Detta objektiv var fullständigt symmetriskt, där vardera hälften bestod av tre sammankittade linser.

Dialyter. Det första av dessa objektiv var konstruerade av von Höegh hos Goerz, och bestod av fyra från varandra fristående linser, symmetriskt placerade runt bländaren. Det hetter Celor och lanserades 1900. Bildvinkeln var endast ca. 40o, men de hade en högre ljusstyrka än den föregående gruppen.

Dubbelanastigmaterna, där vardera hälften bestod av flera delar där den ena var kittad, inleddes med Planar-objektivet från Carl Zeiss, konstruerat av P. Rudolph. Ett annat exempel är Meyers Dubbel-Plasmat, även det konstruerat av Rudolph.

Tripletterna består av tre fristående delar: först en positiv, så en negativ och slutligen ytterligare en positiv. Den första av dessa var Cooke-tripletten från 1894. Detta objektiv hade god korrektion för koma och hade stor ljusstyrka (f/4,5). Den mest berömda av dessa objektiv är emellertid Tessaren från Zeiss, konstruerad av P. Rudolph 1902. Det är förmodligen det mest använda objektivet under 1900-talet, om man räknar in alla kopior av det som började tillverkas när patentet gick ut 1921. Ytterligare utvecklingar har förekommit, så att det ibland kan vara svårt att känna igen triplettformen, på exempelvis Zeiss´ Sonnar.

Gå till Kapitel 4